La divisione regolare del piano, detta tessellazione, è l'insieme di forme chiuse che ricoprono il piano completamente senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti. Di solito le figure che vengono usate per le tassellazioni sono poligoni e altre forme regolari.
Escher rimase affascinato da ogni tipo di tassellazione, regolare ed irregolare, sperimentandole a volte anche contemporaneamente nelle opere dette metamorfosi, dove le figure cambiano e interagiscono con le altre e a volte addirittura si liberano ed abbandonano il piano in cui giacciono.
Anche il fisico inglese
Penrose, fu affascinato dalle tessellazioni. Egli trovò che per determinate lunghezze dei lati le configurazioni aquilone e dardo con cui è costruito il meccanismo di Peaucellier possono costituire un ricoprimento del piano non periodico, cioè che non viene trasformato in sé da nessun movimento rigido del piano.Le figure impossibili
Escher giocò con architetture,
prospettive e spazi impossibili.
Nel famoso quadro, la cascata
rappresenta un sistema chiuso: essa ritorna in continuazione alla ruota del
mulino in un movimento perpetuo che viola la legge di conservazione
dell'energia.
Un altro tema utilizzato da Escher è l’anello di Möbius (August Ferdinand Möbius -1790-1868-matematico, astronomo tedesco)
L’anello di Möbius (una storiella divertente)
1. Facciamo con del cartoncino un normale anello. Vi sono 2 superfici, una gialla e una verde. Immaginiamo che essi siano universi paralleli: l’universo verde dell’Amazzonia, con la città verde, e la circolare verde, e l’universo giallo del Sahara, con la città gialla e la circolare gialla che lo percorre.
2. A questo punto il Grande Manovratore inserisce lo scambio speciale, ma inavvertitamente ha invertito le due rotaie
3. ora l’anello non è più un anello normale: è lo straordinario anello di Möbius. In esso in apparenza vi sono due facce o superfici, come in tutti i nastri, in realtà le superfici sono una sola. Infatti seguendo il percorso dei due convogli ci si rende conto che il convoglio verde transita alternativamente dalla città verde alla città gialla, così il convoglio giallo passerà dalla città gialla a quella verde. Due mondi prima separati "paralleli" ora fusi in un unico universo. Spazzati via i concetti di faccia, di superficie, spazio! Siamo nell’assurdo, fuori dalla logica, eppure vero, concreto, esistente.
4. ma il Grande Manovratore si è accorto dello sbaglio, vuole rimediare all’errore, inverte di nuovo le rotaie. Ma lo fa nel momento sbagliato, lo fa mentre transita nel territorio giallo il treno verde, e nel territorio verde il treno giallo.
5. Che accade? Ora l’anello di Möbius è tornato normale, con due facce, ma ognuno dei due universi ha perduto il proprio treno. Vede in cambio transitare un altro treno, quello del mondo di un altro colore
Inversore di Peaucellier
Il meccanismo di Peaucellier è costituito da sette aste incernierate. Quattro di esse della stessa lunghezza formano un rombo, due più lunghe sono incernierate a due vertici opposti del rombo e fra loro in un punto fisso O. L'apparato ora descritto è noto come cella di Peaucellier ed ha la notevole proprietà che i punti P e Q si corrispondono in una inversione circolare di centro O, cioè le distanze OP, OQ sono tali che OP · OQ = costante.
Una
proprietà dell'inversione circolare è che i cerchi passanti per il centro di
inversione (nel nostro caso il punto O) vengono mandati in rette. Ciò spiega
il funzionamento del meccanismo di Peaucellier: se si aggiunge una settima
asta che impone a P di descrivere un cerchio passante per O allora il punto
Q descriverà una retta. Una retta vera, non una sua approssimazione.
La cella di Peaucellier
si può ottenere dai due quadrilateri articolati che appaiono nella figura, cui la tradizione ha dato i nomi di aquilone e dardo,
sovrapponendoli ed identificando le due aste più lunghe. Se la stessa
operazione si esegue identificando le aste più corte otteniamo il meccanismo
della figura successiva.
In questo caso si ha OQ · PQ = costante e se si costringe Q a descrivere un
cerchio passante per O allora il punto P si muoverà in linea retta.
Nel 1964 il fisico inglese Penrose trovò che per
determinate lunghezze dei lati le configurazioni aquilone e dardo con cui è costruito il meccanismo di Peaucellier possono costituire
un ricoprimento del piano non periodico, cioè che non viene trasformato in
sé da nessun movimento rigido del piano.
Lo studio di questi ricoprimenti ha trovato applicazione nella teoria dei
quasi-cristalli.
http://mathforum.org/sum95/math_and/moebius/moebius.html
http://users.erols.com/ziring/escher_bio.htm
http://www.mcescher.com/
http://www.pentaplex.com/other.html
http://www2.unife.it/geometria/Escher_A/index.htm